сферические
многочлены, специальная система многочленов последовательно возрастающих степеней. Впервые рассматривалась А.
Лежандром
и П.
Лапласом (в 1782-85) независимо друг от друга. Для
n = 0,1,2,... Л. м.
Р (
х) могут быть определены формулой:
,
в частности:
,
,
,
,
,
и т.д. Все нули многочлена
Pn (
x) - действительные и лежат в основном промежутке [-1, +1], перемежаясь с нулями многочлена
Pn+i (
x). Л. м. -
Ортогональные многочлены с весом 1 на отрезке [-1, +1,]; они образуют полную систему, чем обусловливается возможность разложения в ряд по Л. м. произвольной функции
f (
x), интегрируемой на отрезке [-1, +1]:
,
где
.
Характер сходимости рядов по Л. м. примерно тот же, что и рядов Фурье.
Явное выражение для Л. м.:
.
Производящая функция:
(Л. м. - коэффициенты при n-й степени в разложении этой функции по степеням t). Рекуррентная формула:
nPn (x) + (n - 1) Pn-2(x) - (2n - 1) xPn-1(x) = 0.
Дифференциальное уравнение для Л. м.
возникает при разделении переменных в уравнении Лапласа в сферических координатах. См. также
Сферические функции.
Лит.: Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф., Специальные функции. Формулы, графики, таблицы, пер. с нем., 2 изд., М., 1968; Лебедев Н. Н., Специальные функции и их приложения, 2 изд., М. - Л., 1963.
В. Н. Битюцков.